Allievo di Aldo Carpi all'Accademia di Brera di Milano, dove poi ottiene la cattedra, Badodi entrò nel gruppo di "Corrente", di cui fecero parte Aligi Sassu, Renato Birolli, Bruno Cassinari, Fiorenzo Tomea, Giacomo Manzù, Giuseppe Migneco, Italo Valenti e Lucio Fontana.
L'idea che questi artisti avevano in comune era l'opporsi alla cultura della società, con l’obbiettivo di operare uno svecchiamento dei canoni dell'arte italiana.
I soggetti che Badodi predilige sono gli ambienti spettacolari dei circhi, le sartorie, le modisterie, i personaggi di tutti i giorni e i diversi aspetti della città milanese, con una ricerca mirata per i suoi luoghi più nascosti e ricchi di mistero e fascino.
Nel 1939 vinse il premio "Gavazzi", con l'opera La Battaglia di Milazzo, attualmente conservata nel Museo del Risorgimento di Milano.
La Biennale di Venezia gli dedicò, nel 1948, una retrospettiva curata da Raffaele De Grada.
Nel 1959 due sue opere (Ritratto della madre e Natura morta) furono esposte alla mostra 50 anni d'arte a Milano dal divisionismo ad oggi, organizzata dalla Permanente.
Espone in numerose gallerie milanesi e in altrettante personali, oltre che con il gruppo Corrente. Opere del Badodi sono conservate in collezioni pubbliche e private e nella Galleria nazionale d'arte moderna e contemporanea di Roma.
